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簡單幾何體的表面積與體積

[日期:2017/10/12 15:04:00] 閱讀:4851

主備人:胡孟娟

教學目標:

通過柱、錐、臺、球的研究,掌握柱、錐、臺、球的表面積和體積的求法,熟悉柱體、椎體、臺體之間的轉換關系;同時,感受幾何體體積和表面積公式的推導過程,提高空間思維能力和空間想象能力,增強探索問題和解決問題的能力

高考解讀:

考查形式有兩種:一是直接求柱錐臺球的表面積和體積,考查化歸思想的應用,二是已知某幾何體的表面積和體積求某些量或關系,形式以選擇題和填空題為主,當然文科也常考大題,選擇填空一般是考一個,分值是五分,主要是以三視圖為背景進行考查,對學生的識圖能力和空間想象能力要求較高。

教學重點:空間幾何體的表面積和體積的求法

教學難點:1、空間問題向平面問題轉化

          2、與球有關的內切、外接問題

教學過程:

在教學過程中,主要介紹空間幾何體表面積和體積的求解。

有關幾何體表面積問題,要引導學生學會把空間圖形轉化為平面圖形,把曲面轉化為平面的處理問題方法;其中,還會涉及到研究幾何體表面上兩點的最短距離問題,常選擇恰當的母線或棱展開,轉化為平面上兩點間的最短距離問題。

第二個,體積的求解方法主要有公式法、割補法和等體積轉化法。規則幾何體直接代入公式即可,求不規則幾何體的體積時,可以將所給幾何體分割成若干個常見幾何體,分別求出這些幾何體體積,從而得出要求幾何體的體積,等體積轉化法是利用三棱錐的特性,即任意一個面都可以作為底面,從而進行換底換高計算,這種方法充分體現了數學的轉化思想。

以上是我的教學設想,我的困惑主要是與球有關的內切、外接問題,是否在此處補充,以及補充到什么程度,謝謝大家!

第一課時:簡單幾何體的側面積

一、教材的地位與作用

這節課將在之前的基礎上,通過圓柱、圓錐、圓臺以及棱柱、棱臺的側面展開圖,深入學習這些簡單幾何體的側面積求法.將柱、錐、臺側面積計算公式綜合統一起來認識,加強聯系和對比,會利用公式進行計算.

二、教學目標

1.知識與技能:①了解柱、錐、臺的側面展開圖;

②了解柱、錐、臺的表面積的計算公式,會求一些簡單幾何

體的表面積.

2.過程與方法:在教學過程中培養空間問題向平面轉化的數學思想.

3.情感態度與價值觀: 數學來源于生活.

三、教學重難點

  教學重點:1、棱柱、棱錐、棱臺的表面積公式的推導方法。

            2、加強空間與平面圖形相互轉化的思想方法的應用。

  教學難點:棱柱、棱錐、棱臺的表面積公式的應用

四、教法學法:啟發與引導相結合 ,適當運用實物模型。

五、教學過程

復習回顧

1.旋轉體

2.多面體

 

提出問題:

    在初中,我們已經學習了正方體和長方體的表面積,以及它們的展開圖,你知道上述幾何體的展開圖與表面積的關系嗎?

棱柱,棱錐,棱臺也是多個圖形圍成的幾何體,它們的展開圖是什么?如何計算它們的表面積?

如何根據圓柱、圓錐的幾何特征,求它們的表面積?

學生活動:

學生討論和回顧長方體和正方體的表面積公式。

學生思考幾何體的表面積的含義,教師提示就是求各個面的面積和。

讓學生思考圓柱和圓錐、圓臺的側面展開圖的形A狀。

一、簡單幾何體的側面積

1.圓柱、圓錐、圓臺

                                

 

     

 

 

 

 

 

2.直棱柱、正棱錐、正棱臺

                         

                           為底面周長, 為斜高.

 

 

二、應用

1.一個圓柱形的鍋爐,底面直徑d=1m,h=2.3m.求鍋爐的表面積(保留2個有效數字).

 

2.圓臺的上、下底面半徑分別是10cm20cm, 它的側面展開圖的扇環的圓心角是180o,那么圓臺的側面積是多少?(結果中保留)

解:如圖, 設上底面周長為c. 因為扇環的中心角是180o,

所以c= 所以 SA=20. 同理 SB=40.

所以 l=AB=SB-SA=20.

:圓臺的側面積為600 cm2.

 

3.一個正三棱臺的上、下底面邊長分別為3cm, 6cm, 高為1.5cm. 求三棱臺的側面積.

解:如圖,O1, O分別是上、下底面的中心,則O1O=1.5, 連接A1O1并延長交B1C1D1, 連接AO并延長交BCD,連接AO并延長交BCD,

RtΔD1ED,

所以S正三棱臺側=

選題目的:(i)源于教材,以本為本.

(ii)突出定理和公式的的應用/突出概念的特征、特點.

反饋練習

1.已知正六棱柱的高為h, 底面邊長為a, 求表面積.

2.正四棱臺的上、下兩底面邊長分別是3,6, 其側面積等于兩底面積之和, 則其高和斜高分別是多少?

3.要對一批圓錐形實心零部件的表面進行防腐處理, 每平方厘米的加工處理費為0.15. 已知圓錐底面直徑與母線長相等, 都等于5cm, 問加工處理1 000個這樣的零件, 需加工處理費多少元?(精確到0.01)

4.已知圓錐的表面積為a m2, 且它的側面展開圖是一個半圓, 則這個圓錐的底面直徑是多少?

設計意圖:強化定理公式的靈活應用,從簡單到復雜,在變化尋找不變性,由淺入深,體現梯度,培養學生思維的靈活性,通過一組精心設計的問題鏈來引導和激發學生的參與意識、培養學生探究問題的能力,提升思維的層次.同時為后面的學習內容作一個鋪墊。

六、課堂小結

1、柱、錐、臺的側面展開圖;

2、柱、錐、臺的側面積計算公式(關鍵元素的求解);
3
、將空間問題轉化為平面問題。

第二課時

棱柱、棱錐、棱臺和圓柱、圓錐、圓臺和球的體積教案

一、教材的地位與作用

    幾何體指的是一個物體所占有的空間部分。常見的有柱體、錐體、臺體、球體等等。幾何體不僅僅包括它的外表面,還包括它內部的部分,認識柱、錐、臺、球的結構特征,會用平行投影法、三視圖法、直觀圖法繪制空間圖形,柱、錐、臺、球等幾何體的表面積和體積的求法,平面的基本性質,空間直線的位置關系,直線與平面之間及兩平面之間平行和垂直關系,掌握好上述內容,就抓住了立體幾何中最重要、最根本的內容,其他部分也就迎刃而解了。

二、教學目標

  1.知識與技能:(1)通過對柱、錐、臺體研究,掌握柱、錐、臺體體積求法

              2)能運用公式求柱、錐、臺體體積

              3)球的表面積和體積公式及其應用

  2.過程與方法:通過對照比較,理解柱、錐、臺體三者間面積和體積的關系.

  3.情感態度與價值觀:通過學習柱、錐、臺體、球的體積及球的表面積,提升空間思維的能力.

三、教學重難點

   教學重點:柱、錐、臺體、球的體積計算和球的表面積和體積的計算

   教學難點:柱、錐、臺體體積公式及球的表面積和體積公式的理解及其應用

四、教法學法與教學用具

1、教法學法:學生通過閱讀教材,自主學習、思考、交流、討論和概 括,通過剖析實 物幾何體感受幾何體的特征,從而更好地完成本節課的教學目標。

2、教學用具:實物幾何體,投影儀x k b

五、教學過程:

1. 教學柱、錐、臺的體積計算公式:

① 討論:等底、等高的棱柱、圓柱的體積關系?

② 根據正方體、長方體、圓柱的體 積公式,推測柱體的體積計算公式?[來源:   →給出柱體體積計算公式:    為底面面積, 為柱體的高)

③ 討論:等底、等高的圓柱與圓錐之間的體積關系? 等底等高的圓錐、棱錐之間的體積關系?

④ 根據圓錐的體積公式公式,推測錐體的體積計算公式?

  →給出錐體的體積計算公式:    為底面面積, 為錐體的高

⑤ 討論:臺體的上底面積 ,下底面積 ,高 ,由此如何計算切割前的錐體的高? → 如何計算臺體的體積?

⑥ 給出臺體的體積公式:   分別上、下底面積, 為高)

     分別為圓臺上底、下底半徑)[來源:Zxxk.Com]

⑦ 比較與發現:柱、錐、臺的體積計算公式有何關系?

從錐、臺、柱的形狀可以看出,當臺體上底縮為一點時,臺成為錐;當臺體上底放大為與下底相同時,臺成為柱。因此只要分別令 便可以從臺體的體積公式得到柱、錐的相應公式。從而錐、柱的公式可以統一為臺體的體積公 .

  討論:側 面積公式 是否也正確? 圓柱、圓錐、圓臺的側面積和體積公式又可如何統一

1.埃及胡夫金字塔大約建于公元前2580, 其形狀為正四棱錐. 金字塔高約146.6 m, 底面邊長約230.4 m. : 這座金字塔的側面積和體積各是多少?

解:如圖, AC為高, BC為底面的邊心距, AC=146.6 m, BC=115.2 m,

底面周長c=4×230.4 m,

S側面積=

2.已知一正四棱臺的上底邊長為4 cm, 下底邊長為8 cm, 高為3 cm. 求其體積.

: V臺體=

二、球的表面積和體積

  

3.如圖, 一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰激凌, 如果冰激凌融化了, 會溢出杯子嗎?(假設冰激凌融化前后體積不變)

解:

V圓錐

冰激凌融化了, 不會溢出杯子.

4.一個圓柱形的玻璃瓶的內半徑為3 cm, 瓶里所裝的水深為8 cm, 將一個鋼球完全浸入水中, 瓶中水的高度上升到8.5 cm. 求鋼球的半徑.

解:如圖, 設鋼球半徑為R,

則由題意有

解得     R=1.5(cm).

 

六、課堂小結

 1. 棱柱、棱錐、棱臺體積公式

2. 圓柱、圓錐、圓臺體積公式

3.球的體積、表面積公式

七、作業布置P49 B1,2,3

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